Probabilité conditionnelle – spécial Bac ! [Vidéo] (Première / Terminale)

Probabilité conditionnelle : introduction de la vidéo

Bonjour à toi et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet.
Dans cette vidéo, je vais t’apprendre à étudier un sujet de Bac sur la notion de probabilité conditionnelle. Si tu es en terminale S, ES ou même L avec option maths, je t’invite donc à visionner cette vidéo dans laquelle on traitera un exercice de bac sur cette notion de probabilité conditionnelle. Ce sont des exercices vraiment standards qui tombent très fréquemment au bac donc tu apprendras à étudier ce genre d’exercices et surtout à bien rédiger les réponses aux questions qu’on te pose : on parlera d’arbre pondéré, de probabilité de A sachant B ou encore de la formule des probabilités totales. On y va tout de suite !

Exercice de Bac sur la notion de probabilité conditionnelle

Je te propose de traiter l’exercice 1 qui est tombé au bac S en France le 20 juin 2013, c’est un exercice qui est commun à tous les candidats c’est-à-dire qu’ils soient en spécialité maths ou pas et si tu es en terminale ES ou L avec option math, tu peux tout à fait visionner cette vidéo car le niveau d’exercice que ça soit en S ou en ES sur les probabilités conditionnelles est exactement le même.
Alors dans un 1er temps, prend 10 à 15 minutes voire même 20 minutes pour traiter toi même cet exercice tout seul et on se revoit juste après pour la correction.

Construire un arbre pondéré

Alors tu as lu l’énoncé : on va donc traité la question 1a à savoir construire un arbre pondéré traduisant la situation de l’énoncé. Ce qui est pratique c’est de voir les événements qui apparaissent dans le sujet : on a H1, H2, H3 et dans l’ordre d’apparition c’est ce qu’on voit en 1er dans le sujet donc cela me laisse penser qu’on va avoir tout d’abord 3 branches. Soit l’arbre est choisi chez l’horticulteur H1, soit il est choisi chez l’horticulteur H2 ou soit chez l’horticulteur H3 puis on me dit que chaque horticulteur livre 2 catégories d’arbres (des conifères ou des arbres à feuilles) et ici tu vois que ces événements sont notés C ou F donc si l’arbre vient de l’horticulteur H1 ben ça sera soit un conifère soit un arbre à feuilles, même chose s’il vient de H2 et même chose s’il vient de H3. Donc voici mon arbre et maintenant il faut le pondérer comme demandé dans l’exercice : alors cela va venir des pourcentages donnés dans l’énoncé. 35% des plants proviennent de l’horticulteur H1, 35 / 100 ça fait 0,35 qui est la probabilité de l’événement H1 et que je mets donc ici sur cette branche. Ensuite 25% pour l’horticulteur H2 donc ici la probabilité de H2 est égale à 0,25. Je la mets sur sa branche et le reste provient de l’horticulteur H3 donc je vais avoir cette probabilité à calculer.
Ensuite la livraison de l’horticulteur H1 (donc je me situe ici dans l’arbre) comporte 80% de conifères, 80 / 100 ça fait 0,8 donc ici je vais avoir une probabilité de conifères égale à 0,8. Celle de l’horticulteur H2 n’en comporte que 50% (je parle toujours des conifères) donc la probabilité d’avoir un conifère elle est de 0,5 et enfin celle de l’horticulteur H3 seulement 30%, on parle toujours des conifères donc quand on provient de H3 la probabilité d’avoir un conifère est de 0,3 donc ici encore on a des probabilités manquantes qu’on va calculer par la suite.

Alors par exemple si je veux calculer la probabilité de l’événement H3, hé bien je vais appliquer la règle des nœuds qui dit qu’à partir d’un nœud, la somme des probabilités de chacune des branches est égale à 1 donc la probabilité de H3 ici est égale à 1 moins la probabilité de H1 + la probabilité de H2 ce qui me fait 1 – (0,35 + 0,25) c’est-à-dire 1 – 0,6 et donc c’est égal à 0,4 ici.
Ensuite quelle est la probabilité qui se trouve ici ? Alors déjà elle va se noter P (F) mais attention sachant H1 que je note ici en indice. Donc même règle, règle des nœuds : la somme des probabilités des branches qui partent d’un nœud est égale à 1 donc pour avoir cette probabilité P (F) sachant H1, je fais 1 moins la probabilité de C sachant H1 ce qui est donc égal à 1 – 0,8 = 0,2 que je reporte donc ici sur mon arbre. Alors les autres probabilités s’obtiennent de la même manière donc ici j’ai 0,5 donc sur l’autre branche on a 0,5 puisque la somme doit être égale à 1. Ici j’ai 0,3 donc ici j’ai 0,7 car la somme doit être égale à 1.
Voici mon arbre pondéré qui est donc complet !

Probabilité d’une intersection

Alors on passe à la question suivante 1b : calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3.
Alors cette phrase, il va falloir l’écrire sous forme de probabilité : je veux avoir la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère et qu’il soit acheté chez l’horticulteur H3 donc j’écris ça sous la forme P (H3 inter C) pour dire que j’ai les 2 événements en même temps. Donc comment est-ce que je vais avoir la probabilité de H3 inter C ? Il suffit de suivre ce chemin dans l’arbre et de multiplier les probabilités que je rencontre. Alors tout d’abord, j’écris la formule : cette 1ère probabilité, c’est la probabilité de H3 que je vais multiplier par cette 2ème probabilité qui est la probabilité de C sachant H3. Je remplace, cela me fait donc 0,4 x 0,3 = 0,12 et le jour du bac tu fais une phrase : la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3 est de 0,12. Voilà il suffit si tu veux de reprendre la question posée. Voilà et comme on a trouvé que P (H3 inter C) = 0,12 c’est-à-dire la probabilité de tout ce chemin, hé bien juste à coté du chemin je fais apparaitre la probabilité calculée.

Formule des probabilités totales

On peut donc passer à la question suivante 1c. On me dit de justifier que la probabilité de l’événement C est égale à 0,525. On cherche donc la probabilité de l’événement C. Alors si je regarde mon arbre : ici j’ai l’événement C, ici aussi et ici aussi… Lorsqu’on a cette configuration là, on va appliquer ce qu’on appelle la formule des probabilités totales et on écrit d’après la formule des probabilités totales voici comment on va calculer la probabilité de l’événement C. P (C) = tout d’abord on suit le 1er chemin ici qui mène à C c’est donc la probabilité de H1 inter C + on additionne la probabilité du 2ème chemin qui mène à C c’est-à-dire la probabilité de H2 inter C + la probabilité du 3ème chemin qui mène à C c’est-à-dire H3 inter C. Pour calculer P (H1 inter C), comme tout à l’heure on multiplie les probabilités rencontrées sur les branches donc on fait P (H1) x P (C) sachant H1 + P (H2) x P (C) sachant H2 + P (H3 inter C) qu’on a déjà calculé qui est égale à 0,12. On remplace P (H1) c’est 0,35 x 0,8 + 0,25 x 0,5 + 0,12, on calcule ces multiplications 0,35 x 0,8 ça fait 0,28 + 0,25 x 0,5 ça fait 0,125 + 0,12 et au final cette somme est bien égale à 0,525 et c’est le résultat que l’on attendait.

Probabilité conditionnelle de « A sachant B »

Enfin question 1d, on me dit que l’arbre choisi est un conifère donc on le sait donc cet événement là va apparaître dans le « sachant que », ça sera sachant l’événement C. Et on me demande quelle est la probabilité qu’il est été acheté chez l’horticulteur H1 donc la probabilité que l’on cherche c’est la probabilité que l’arbre ait été acheté chez l’horticulteur H1 sachant que c’est un conifère. C’est cette probabilité que l’on cherche !
Si on regarde l’arbre, on a la probabilité de C sachant H1 mais on n’a pas la probabilité de H1 sachant C. Comment est-ce qu’on va s’y prendre ? Alors il y a un principe qui marche très bien pour faire ça : quand tu es coincé tu vas réécrire la probabilité de l’intersection H1 inter C = P (H1) x P (C) sachant H1, est-ce que tu es bien d’accord ? Mais en fait l’événement H1 inter C, c’est le même événement que l’événement C inter H1 donc c’est aussi égal à la probabilité de C multiplié par la probabilité de H1 sachant C et c’est cette probabilité que l’on souhaite obtenir. Comment va-t-on l’obtenir ? Tout simplement en faisant P (H1 inter C), hop on passe P (C) dans le membre de gauche et donc on fait divisé par P (C). Voilà donc soit tu apprends cette formule par cœur ou soit tu la retrouves en passant par la probabilité de l’intersection.
Alors maintenant pour terminer ce calcul : P (H1 inter C) il me semble qu’on l’avait écris ici c’était 0,35 x 0,8 et on avait trouvé 0,28 donc je vais écrire 0,28 / P (C) et P(C) c’est le résultat précédent on avait trouvé 0,525. Si on fait ce calcul à la calculatrice on trouve 0,5333333 or dans le sujet de bac on nous demande d’arrondir à 10 puissance -3 près, cela veut dire 3 chiffres après la virgule donc j’ai 0,533 et comme après j’ai encore un 3 et bien voici l’arrondi désiré à 10 puissance -3 près. Voilà et il faut faire une phrase : la probabilité que l’arbre provienne de l’horticulteur H1 sachant que c’est un conifère est d’environ 0,533 à 10 puissance -3 près.

Résumé : probabilité conditionnelle au Bac

Donc si je récapitule : dans un exercice de probabilité conditionnelle au Bac, tu dois tout d’abord savoir construire un arbre pondéré grâce aux données de l’énoncé en faisant attention aux pourcentages qu’on te donne dans l’exercice. Tu dois aussi savoir calculer la probabilité d’une intersection pour cela utilise ton arbre, tu dois savoir calculer la probabilité d’un événement grâce à la formule des probabilités totales et tu dois savoir traduire une phrase comme celle-ci sous forme d’une probabilité conditionnelle P(H1) sachant C et enfin, pour ne pas perdre de points, tu dois arrondir correctement tes résultats en suivant les instructions qu’on te donne dans l’exercice.

Pour continuer : loi binomiale

Dans la question 2 on va parler de loi binomiale et ça fera l’objet d’une prochaine vidéo. Je te dis donc à très très bientôt sur bossetesmaths.com et je te remercie d’avoir suivi cette vidéo, salut !